DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Distribución de una variable aleatoria discreta

Distribución aleatoria discreta, variable aleatoria, comparar una distribución de frecuencias con una de probabilidad.

Distribución aleatoria

Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros.

Distribución de probabilidad

Características:  

⇒  F(‐∞)=P(X ≤ ‐∞)=0 

⇒   F(∞)=P(X ≤  ∞ )=1 

⇒   0 ≤ F(X) ≤ 1 por ser F(X) una probabilidad 

⇒    F(X) es no decreciente. Esta propiedad se puede demostrar como sigue: 

“Sea b>a, entonces podemos definir, 

                 F(b) = F(a) + P(a<X≤b) 

• Ejemplo 1. 

Un dado simétrico tiene tres caras iguales con una puntuación de 6 en cada cara, en otras dos 

de las caras la puntuación es de 5 en cada una y en la cara restante la puntuación es de 1. 

Obtener la función de probabilidad o cuantía de la variable X. 

Tabla 1. Cálculo de la función de probabilidad 

X=xi  P(X=xi)

1 1/6

5 2/6

6 3/6

1.  Tabla de distribución de frecuencias

La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos

2.  Tabla de distribución de probabilidad

La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados

3.  Gráfica de las distribuciones

En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.

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12.2 Parámetros de una distribución discreta

4.4 Momentos  

1. Momentos Respecto al Origen de orden 1 de la variable aleatoria X = E(x1) 

La  Esperanza Matemática,  que  viene representa  por,  E(h(x)),  equivale  a  una  idealización  de media 

aritmética o promedio.   Equivaldría a considerar la media como el centro de gravedad de la nube de 

puntos.  Su expresión en el caso de variables aleatorias discretas es: 

μ = E(X) =Σ xi*f(xi) 

Ecuación 3. Expresión de la Esperanza Matemática 

  

 

 

Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas 8 

 

siendo f(x) la función de probabilidad o de cuantía. 

 

La Esperanza, cumple varias propiedades básicas: 

• Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media μ, la transformada lineal 

de ella,  Y = aX + b cumple, 

E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b  

 

• La  combinación  lineal (suma o diferencia) de dos o más funciones de una  variable 

aleatoria X, cumple la propiedad de que su esperanza también la cumple: 

 

E(g(X) ± h(X)) = E(g(X)) ± E(h(X)) 

 

• La esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes, X e Y , es el 

producto de las esperanzas: 

E(X*Y ) = E(X)*E(Y ) 

 

2. Momento Central de orden 2 

Al igual que la esperanza se definía como el centro de gravedad de una nube de puntos, la Varianza se 

puede considerar el momento de inercia del sistema y va a medir la dispersión o distanciamiento de 

cada xi

, respecto de la media. La Varianza, σ2

, de una variable aleatoria X, cuya distribución de 

probabilidades viene dada por  f(x) y la media por μ, puede expresarse, en el caso de variables 

aleatorias discretas, como sigue: 

σ2 

= E[(X − μ)2] = Σ (xi − μ)

2

f(xi)  Ecuación 4. Expresión de la Varianza 

siendo f(x) la función de probabilidad o de cuantía. 

 

La Varianza, cumple una propiedad básica: 

• Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media μ y formamos la 

transformada lineal, Y = aX + b, se cumple 

σ2

 (Y ) = σ2

(aX + b) = a2

σ2

 (X) = a2

 σ2

12.2  Parámetros de una distribución discreta

Media y desviación típica de una variable aleatoria discreta. La media es el valor esperado también se llama esperanza matemática

Esperanza matemática o media , varianza y desviación típica

Ejemplo

Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica.

Construimos la tabla, teniendo en cuenta los valores que puede tomar la variable xi obtener cara.

Tenemos tres monedas, el número de caras que podemos obtener será: 0, 1, 2 y 3.

Escribimos el espacio muestral para facilitar el recuento, los casos posibles son 2³ = 8

E = { CCC, CCX, CXC, XCC, XCX, XXC, CXX, XXX }

-  La probabilidad de no obtener ninguna cara será obtener tres cruces {XXX} = 1 / 8

-  La probabilidad de obtener una cara será {XCX, XXC, CXX } = 3 / 8

-  La probabilidad de obtener dos caras será {CCX, CXC, XCC } = 3 / 8

-  La probabilidad de obtener tres caras será {CCC} = 1 / 8

Calcular media y desviación típica
	sacar cara  xi	probabilidad  pi	xi · pi	pi · xi2
	0	1/8	0	0
	1	3/8	3/8	3/8
	2	3/8	6/8	12/8
	3	1/8	3/8	9/8
∑		1	1,5	3