12.2 Parámetros de una distribución discreta

4.4 Momentos  

1. Momentos Respecto al Origen de orden 1 de la variable aleatoria X = E(x1) 

La  Esperanza Matemática,  que  viene representa  por,  E(h(x)),  equivale  a  una  idealización  de media 

aritmética o promedio.   Equivaldría a considerar la media como el centro de gravedad de la nube de 

puntos.  Su expresión en el caso de variables aleatorias discretas es: 

μ = E(X) =Σ xi*f(xi) 

Ecuación 3. Expresión de la Esperanza Matemática 

  

 

 

Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas 8 

 

siendo f(x) la función de probabilidad o de cuantía. 

 

La Esperanza, cumple varias propiedades básicas: 

• Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media μ, la transformada lineal 

de ella,  Y = aX + b cumple, 

E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b  

 

• La  combinación  lineal (suma o diferencia) de dos o más funciones de una  variable 

aleatoria X, cumple la propiedad de que su esperanza también la cumple: 

 

E(g(X) ± h(X)) = E(g(X)) ± E(h(X)) 

 

• La esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes, X e Y , es el 

producto de las esperanzas: 

E(X*Y ) = E(X)*E(Y ) 

 

2. Momento Central de orden 2 

Al igual que la esperanza se definía como el centro de gravedad de una nube de puntos, la Varianza se 

puede considerar el momento de inercia del sistema y va a medir la dispersión o distanciamiento de 

cada xi

, respecto de la media. La Varianza, σ2

, de una variable aleatoria X, cuya distribución de 

probabilidades viene dada por  f(x) y la media por μ, puede expresarse, en el caso de variables 

aleatorias discretas, como sigue: 

σ2 

= E[(X − μ)2] = Σ (xi − μ)

2

f(xi)  Ecuación 4. Expresión de la Varianza 

siendo f(x) la función de probabilidad o de cuantía. 

 

La Varianza, cumple una propiedad básica: 

• Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media μ y formamos la 

transformada lineal, Y = aX + b, se cumple 

σ2

 (Y ) = σ2

(aX + b) = a2

σ2

 (X) = a2

 σ2

12.2  Parámetros de una distribución discreta

Media y desviación típica de una variable aleatoria discreta. La media es el valor esperado también se llama esperanza matemática

Esperanza matemática o media , varianza y desviación típica

Ejemplo

Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica.

Construimos la tabla, teniendo en cuenta los valores que puede tomar la variable xi obtener cara.

Tenemos tres monedas, el número de caras que podemos obtener será: 0, 1, 2 y 3.

Escribimos el espacio muestral para facilitar el recuento, los casos posibles son 2³ = 8

E = { CCC, CCX, CXC, XCC, XCX, XXC, CXX, XXX }

-  La probabilidad de no obtener ninguna cara será obtener tres cruces {XXX} = 1 / 8

-  La probabilidad de obtener una cara será {XCX, XXC, CXX } = 3 / 8

-  La probabilidad de obtener dos caras será {CCX, CXC, XCC } = 3 / 8

-  La probabilidad de obtener tres caras será {CCC} = 1 / 8

Calcular media y desviación típica
	sacar cara  xi	probabilidad  pi	xi · pi	pi · xi2
	0	1/8	0	0
	1	3/8	3/8	3/8
	2	3/8	6/8	12/8
	3	1/8	3/8	9/8
∑		1	1,5	3